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普遍的彼得森图中的意大利统治
Italian domination in generalized Petersen graphs
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论文摘要
在图$ g =（v，e）$中，每个顶点$ v \ in V $标记为$ 0 $，$ 1 $或$ 2 $，以使每个标记为$ 0 $的顶点均与至少一个标记为$ 2 $或两个标签的顶点标记为$ 1 $。这种标签称为$ g $的意大利主导功能（IDF）。 IDF $ F $的重量是$ W（f）= \ sum_ {v \ in V} f（v）$。 $ G $的意大利统治数为$γ_{i}（g）= \ min_ {f} w（f）$。 Gao等。 （2019年）已确定$γ_i（p（n，3））$的值。在本文中，我们专注于对普通彼得森图的意大利统治数量$ p（n，k）$，$ k \ neq3 $。我们确定$γ_i（p（n，1））$，$γ_i（p（n，2））$和$γ_i（p（n，k））$的值，$ k \ ge4 $，$ k \ equiv2,3（\ bmod5）$和$ n \ equiv0（\ bmod5）$。对于其他$ p（n，k）$，我们提供$γ_i（p（n，k））$的限制。通过获得的结果，我们部分解决了Brešar等人提出的开放问题。 （2007）给出$ p（n，1）$是$γ_i=γ_{r2} $并表征$ p（n，2）$的一个示例，其中$γ_i（p（n，2））=γ_{r2}（r2}}（p（n，2））$。此外，我们的结果暗示$ p（n，1）$ $（n \ equiv0（\ bmod \ 4））$是意大利语，$ p（n，1）$ $（n \ not \ equiv0（\ bmod \ 4））$和$ p（n，2）$不是italian。
In a graph $G=(V,E)$, each vertex $v\in V$ is labelled with $0$, $1$ or $2$ such that each vertex labelled with $0$ is adjacent to at least one vertex labelled $2$ or two vertices labelled $1$. Such kind of labelling is called an Italian dominating function (IDF) of $G$. The weight of an IDF $f$ is $w(f)=\sum_{v\in V}f(v)$. The Italian domination number of $G$ is $γ_{I}(G)=\min_{f} w(f)$. Gao et al. (2019) have determined the value of $γ_I(P(n,3))$. In this article, we focus on the study of the Italian domination number of generalized Petersen graphs $P(n, k)$, $k\neq3$. We determine the values of $γ_I(P(n, 1))$, $γ_I(P(n, 2))$ and $γ_I(P(n, k))$ for $k\ge4$, $k\equiv2,3(\bmod5)$ and $n\equiv0(\bmod5)$. For other $P(n,k)$, we present a bound of $γ_I(P(n, k))$. With the obtained results, we partially solve the open problem presented by Brešar et al. (2007) by giving $P(n,1)$ is an example for which $γ_I=γ_{r2}$ and characterizing $P(n,2)$ for which $γ_I(P(n,2))=γ_{r2}(P(n,2))$. Moreover, our results imply $P(n,1)$ $(n\equiv0(\bmod\ 4))$ is Italian, $P(n,1)$ $(n\not\equiv0(\bmod\ 4))$ and $P(n,2)$ are not Italian.
