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在具有准算术平均值的功能分化方程式上
On a functional-differential equation with quasi-arithmetic mean value
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论文摘要
在本文中，我们描述了所有可满足函数 - 差异方程\ begin \ begin \ begin {equation*} [φ（y） - φ（x）]ψ''\ bigl（h（x，y）\ bigR（x，bigr）= [φ（x）\ bigr）= [φ（x）\ bigr（x）= [eque（x）\ bigr（x y（x）， ψ（x）]φ'\ bigl（h（x，y）\ bigr），\ end {equation*}对于所有$ x，y $，$ x <y $，其中$ e \ e \ subseteq \ subseteq \ subseteeq \ mathbb {r} $是一个非公开的nikess，$ h（\ cdot，\ cdot，\ cdot）$ is a quasii- is quasii，I. $ h（x，y）= h^{ - 1}（αH（x）+βH（y））$，$ x，y \在e $中，对于某些可区分且严格的单调函数$ h \ colon e \ to H（e）$和固定$α，$α，β\ in（0,1）$，$α+β+β= 1 $ $ $。
In this paper we describe all differentiable functions $φ,ψ\colon E\to\mathbb{R}$ satisfying the functional-differential equation \begin{equation*} [φ(y) - φ(x)]ψ'\bigl(h(x,y)\bigr) = [ψ(y) - ψ(x)]φ'\bigl(h(x,y)\bigr), \end{equation*} for all $x,y\in E$, $x<y$, where $E \subseteq \mathbb{R}$ is a nonempty open interval, $h(\cdot,\cdot)$ is a quasi-arithmetic mean, i.e. $h(x,y)=H^{-1}(αH (x)+βH (y))$, $x,y\in E$, for some differentiable and strictly monotone function $H\colon E \to H(E)$ and fixed $α, β\in (0,1)$ with $α+β=1$.
