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从riccati方程的角度查看非振荡二阶线性微分方程
Viewing nonoscillatory second order linear differential equations from the angle of Riccati equations
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论文摘要
我们为非振荡性的二阶差分方程式建立了一个存在理论（a）$（a）$（p（p（t）x'）'= q（t）x，$ p（t）$和$ q（t）$和$ q（t）$在$ [a，\ indy）$上是积极的连续功能，其中一对riccati dincection nignial equientair nifections $' （r2）$ v'= 1/p（t） - q（t）v^2 $，与（a）关联。该理论的一个重要部分是构建一对线性独立的非振荡解决方案$ x_1（t）$和$ x_2（t）$（a）的$（a）$（a）在解决方案$ u_1（t）$和$ u_2（t）$（r1）$（r1）或在解决方案上或在解决方案$ v_1（t）$ v_1（t）$ 2（t）$ 2（t）（t）（r1（t）$ 2（t）（r1（t）$ 2（t）（r1（t））（r1（r1）$ u_1（t）$和$ u_2（t））（r1（t）$ 2（t）（r 2（t）））（r 2（t）2）
We build an existence theory for nonoscillatory second order differential equations of the form (A) $(p(t)x')' = q(t)x, $ $p(t)$ and $q(t)$ being positive continuous functions on $[a,\infty)$, in which a crucial role is played by a pair of the Riccati differential equations (R1) $u' = q(t) - u^2/p(t)$, (R2) $ v' = 1/p(t) - q(t)v^2$, associated with (A). An essential part of the theory is the construction of a pair of linearly independent nonoscillatory solutions $x_1(t)$ and $x_2(t)$ of (A) enjoying explicit exponential-integral representations in terms of solutions $u_1(t)$ and $u_2(t)$ of (R1) or in terms of solutions $v_1(t)$ and $v_2(t)$ of (R2).
