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多项式和序列的离散加权马尔可夫 - 伯恩斯坦不等式
A discrete weighted Markov--Bernstein inequality for polynomials and sequences
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论文摘要
对于参数，$ \，c \ in（0,1）\，$和$ \，β> 0 $，让$ \，\ ell_ {2}（c，β）\，$是$ \，\ m athbb {n} n} \，$（i.e.，实际序列）的真实功能的希尔伯特·希尔伯特空间，以下f \ | _ {c，β}^2：= \ sum_ {k = 0}^{\ infty} \ frac {（β）_k} {k！} {k！} \，c^k \，[f（k）]^2 <\ infty \ \ \，。 $$我们在离散的Markov-Bernstein不等式中研究最好的（即最小）常数$ \，γ_n（c，β）\，$，$ p \ in \ Mathcal {p} _n \ ,, $ \，$ \，\ Mathcal {p} _n \，$是最多$ \，n \，$和$ \，$ \，$ \，$ \，$ \，δf（x）：= f（x+1）的真实代数polyenmials over $ \，n \，$ \，$ \，$ \，$ \，$。 我们证明： （i）$ \displayStyleγ_n（c，1）\ leq 1+ \ frac {1} {\ sqrt {\ sqrt {c}}} \，$，$，$，$，$ \，n \，n \ in \ mathbb {n} 1+ \ frac {1} {\ sqrt {c}}} \，$。 （ii）对于（0,1）\，$，$ \，γ_n（c，β）\的每个固定$ \，c \，$是$ \，β\，$ in $ \ in $ \，（0，\ infty）\，$的单调降低函数。 （iii）对于（0,1）\，$和$ \，$ \，$ \，$ \，$，最佳Markov-Bernstein常数$ \，γ_n（c，β）\，$相对于$ \，n $均匀界限。 在$ \，\ ell_ {2}（c，β）\，$中，序列证明了类似的马尔可夫 - 伯恩斯坦不等式。我们还建立了最佳的马尔可夫 - 伯恩斯坦常数$ \，γ_n（c，β）\，$和某些明确给定的雅各比矩阵的最小特征值。
For parameters $\,c\in(0,1)\,$ and $\,β>0$, let $\,\ell_{2}(c,β)\,$ be the Hilbert space of real functions defined on $\,\mathbb{N}\,$ (i.e., real sequences), for which $$ \| f \|_{c,β}^2 := \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(β)_k}{k!}\,c^k\,[f(k)]^2<\infty\,. $$ We study the best (i.e., the smallest possible) constant $\,γ_n(c,β)\,$ in the discrete Markov-Bernstein inequality $$ \|ΔP\|_{c,β}\leq γ_n(c,β)\,\|P\|_{c,β}\,,\quad P\in\mathcal{P}_n\,, $$ where $\,\mathcal{P}_n\,$ is the set of real algebraic polynomials of degree at most $\,n\,$ and $\,Δf(x):=f(x+1)-f(x)\,$. We prove that: (i) $\displaystyle γ_n(c,1)\leq 1+\frac{1}{\sqrt{c}}\,$ for every $\,n\in \mathbb{N}\,$ and $\displaystyle \lim_{n\to\infty}γ_n(c,1)= 1+\frac{1}{\sqrt{c}}\,$. (ii) For every fixed $\,c\in (0,1)\,$, $\,γ_n(c,β)\,$ is a monotonically decreasing function of $\,β\,$ in $\,(0,\infty)\,$. (iii) For every fixed $\,c\in (0,1)\,$ and $\,β>0\,$, the best Markov-Bernstein constants $\,γ_n(c,β)\,$ are bounded uniformly with respect to $\,n$. A similar Markov-Bernstein unequality is proved for sequences in $\,\ell_{2}(c,β)\,$. We also establish a relation between the best Markov-Bernstein constants $\,γ_n(c,β)\,$ and the smallest eigenvalues of certain explicitly given Jacobi matrices.
